八皇后算法解析

今天研究力扣的一道题死活写不出来对应的算法，没办法自己算法基础太差。于是看了下答案，发现使用什么回溯算法，菜鸟表示平时开发期间写的最复杂的程序就是写了两层for循环，已经很牛逼了有木有？这个回溯算法什么鬼？于是乎百度了下，算是了解了回溯算法是什么玩意儿。这里分析一波八皇后算法来加深一下理解。

八皇后算法描述如下：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法！

下面来分析一波，假设此时我们想要在黑色方块位置放置一个皇后：

如果一列一列的放置皇后的话，图中黑色位置能放置一个皇后的合法性条件为：

1、绿色线条经过的方格没有皇后 （不处于同一斜线）

2、红色线条经过的方格没有皇后 （不处于同一行）

3、紫色线条经过的方格没有皇后 （不处于同一斜线）
也就是说如果以黑色方块位置为参照原点：（0,0）坐标点，紫色和绿色两个线条分别是斜率为1和-1的两个函数，如下图：

紫色线所代表的函数是：y = -x;

绿色先所代表的函数是：y=x;

（横坐标是列，纵坐标为行，注意行从上到下递增）

凡是位于这两条函数线上的位置（点）以及横坐标（说明位于同一行）都不能有皇后。
所以假设某一列皇后的位置用行来记录，比如queen[column] = row,意思是第column列的皇后的位置在第row行。

同行的逻辑很好判断，那么我们想要在黑色方块位置放置一个皇后，怎么判断前面几列是否在绿色线条和紫色线条上已经有了皇后呢？思路也很简单：

假设黑色方块的位置为n列，nRow行，假设位于m列的所在的行是否有皇后位于紫色线或者绿色上，那么就符合下面条件：

//假设此时即将在n列放置一个皇后,n>m

]//获取m列上皇后所在的行
int mRow = queen[m]
int nRow = queen[n]；
//行的差值
int rowDiff = nRow - mRow;

//列的差值
int columnDiff = n-m;

上面代码中 rowDiff的绝对值等于columnDiff的绝对值的话，说明点位于y=x或者y=-x的函数线上：

就说明此时黑色方块的位置是不能放置皇后的，因为在紫色或者绿色线上已经有了皇后。
那么用代码来（currentColumn,curreentRow）是否可以放置皇后的方法如下

     /**
     * 判断当（currentRow,currentColumn)是否可以放置皇后
     * @param currentColumn 
     * @return
     */
    public boolean isLegal(int currentRow,int currentColumn) {
        //遍历前面几列
        for(int preColumn=0;preColumn<currentColumn;preColumn++) {
                int row = queen[preColumn];
                //说明在子preColumn的低currentRow已经有了皇后
                if(row==currentRow) {
                        return false;
                }
                
            //行与行的差值
            int rowDiff= Math.abs(row -currentRow);
          
            //列于列的差值
            int columnDiff =  Math.abs(currentColumn-preColumn);
            //说明斜线上有皇后
            if(rowDiff==columnDiff ){
                return false;
            }
        }//end for
        
        //说明（currentRow,currentColumn)可以摆放。
        return true;
    }

}

因为博主是按照一列一列的方式来进行放置的，所以整体思路就是：在当前列逐步尝试每一行是否可以放置皇后，如果有一个可以放置皇后，就继续查看下一列的每一行是否可以放置皇后。所以代码如下：

int queen[] = new int[8];
int count = 0;

private void eightQueen(int currentColumn) {
            //这个for循环的目的是尝试讲皇后放在当前列的每一行
            for(int row=0;row<8;row++) {
                    //判断当前列的row行是否能放置皇后
                    if(isLegal(row,currentColumn)) {
                    //放置皇后
                            queen[currentColumn] = row;
                            if(currentColumn!=7) {
                                    //摆放下一列的皇后
                                    eightQueen(currentColumn+1);
                            
                            }else {
                                    //递归结束，此时row要++了
                                    count++;
                            }
                    }
            }//end for
    }

需要注意的是当currentColumn==7的时候，说明此时已经完成了一种摆放方法，然后for循环继续执行，去尝试其他摆放方法。

测试一波，一共有92种摆放方法：

public static void main(String args[]) {
     Queen queen = new Queen();
     queen.eightQueen(0);
     System.out.println("总共有 " +queen.count+ " 摆放方法");
 }

所以结合八皇后的实现来看看到底什么是回溯算法，看百度百科解释 (rel=undefined)：回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是<font color#ff00ff>在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法

比如八皇后算法来说，我们根据约束条件判断某一列的某一行是否可以放置皇后，如果不可以就继续判断<font color #ff00ff>当前列的下一行是否可以放置皇后.如果可以放置皇后，就继续探寻下一列中可以放置皇后的那个位置。完成一次摆放后。再重新挨个尝试下一个可能的摆放方法。

下面用一个力扣的题 (rel=undefined)再次巩固下回溯算法的应用。该题描述如下：

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：所有数字（包括 target）都是正整数。解集不能包含重复的组合。 
示例 1:输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为:
[
  [7],
  [2,2,3]
]

示例 2:输入: candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为:
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

做该题的重要条件是无重复的数组，那么问题就很好解了。

首先对数组从大到小排序。这是解题的关键。

然后为了减少不必要的遍历，我们要对原来的数组进行截取：

List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
 //重要的要大小排列
Arrays.sort(candidates);
//说明原数组中就没有满足target的数
if (candidates[0] > target) {
       return res;
 }

List<Integer> newCandidates= new ArrayList<Integer>();
int len = candidates.length;
// 取小于target的数 组成一个临时数组
for (int i = 0; i < len; i++) {
        int num = candidates[i];
        if (num > target) {
                break;
        }
       newCandidates.add(num);
 } // end for
 

通过上面的步骤我们拿到了一个从小到大排列的无重复数组newCandidates，数组中的元素都<=target.

因为数组从小到大排列，所以我们有如下几种情况，以candidates = [2,3,5], target = 8为例：

符合条件的子数组满足条件如下

1、target循环减去一个数，如果能一直减到到差值等于0，那么这个数组成的数组就是一个解,比如[2,2,2,2];

2、target减去一个数，然后形成了一个新的newTarget=target-num[i],让这个newTarget减去下一个数num[i+1],然后执行步骤1，则又是一个解，比如[2,3,3];（其实步骤1是步骤2的一个特例）

3、target减去一个数，然后形成了一个新的newTarget=target-num[i],让这个newTarget减去下一个数num[i+1]，如果能一直减到到差值等于0说明又是一个解.，比如[3,5];

如此得到了一个规律，只要是相减之后得到差值=0,就说明就得到一个解。

得到一个新的解之后继续循环数组中的下一个数字，继续执行1,2,3步骤即可。

所以完成的解法如下：

class Solution {
     public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
         //重要的要大小排列
        Arrays.sort(candidates);
         
                List<Integer> temp = new ArrayList<Integer>();

     
                if (candidates[0] > target) {
                        return res;
                }

        int len = candidates.length;
         
                // 取小于target的数 足证一个临时数组
                for (int i = 0; i < len; i++) {
                        int num = candidates[i];
                        if (num > target) {
                                break;
                        }

                        temp.add(num);
                } // end for
         
         //
        find(res, new ArrayList<>(), temp, target, 0);
         
        return res;
    }
    
    public void find(List<List<Integer>> res, List<Integer> tmp, List<Integer> candidates, int target, int start){
        //target==0.找到一个新的解
        if (target == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(tmp));
        }else if(target>0){
          for (int i = start; i < candidates.size(); i++) {
             int num = candidates.get(i);
             if(num<=target){               
                  tmp.add(num);
                  //查找新的target
                  int newTarget = target-num;
                  find(res, tmp, candidates, newTarget, i);
                  tmp.remove(tmp.size() - 1);
             }
           
           }//end for
        }
    }
}

原文：https://blog.csdn.net/chunqiuwei/article/details/90113087#commentBox